Επίλυση 7z^2+8z+3=3z^2

$$7 z ^ { 2 } + 8 z + 3 = 3 z ^ { 2 }$$

Λύση ως προς z

$$z = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$z=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 3z^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$7z^{2}+8z+3-3z^{2}=0$$

Συνδυάστε το 7z^{2} και το -3z^{2} για να λάβετε 4z^{2}.

$$4z^{2}+8z+3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4z^{2}+az+bz+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=4\times 3=12$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=2 b=6$$

Γράψτε πάλι το 4z^{2}+8z+3 ως \left(4z^{2}+2z\right)+\left(6z+3\right).

$$\left(4z^{2}+2z\right)+\left(6z+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2z στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2z\left(2z+1\right)+3\left(2z+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2z+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2z+1\right)\left(2z+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2z+1=0 και 2z+3=0.

$$z=-\frac{1}{2} z=-\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 3z^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$7z^{2}+8z+3-3z^{2}=0$$

Συνδυάστε το 7z^{2} και το -3z^{2} για να λάβετε 4z^{2}.

$$4z^{2}+8z+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 8 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-16\times 3}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 3.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-48}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 64 και το -48.

$$z=\frac{-8±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$z=\frac{-8±4}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$z=\frac{-8±4}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-8±4}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8 και το 4.

$$z=-\frac{4}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$z=-\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-8±4}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -8.

$$z=-\frac{12}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=-\frac{1}{2} z=-\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 3z^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$7z^{2}+8z+3-3z^{2}=0$$

Συνδυάστε το 7z^{2} και το -3z^{2} για να λάβετε 4z^{2}.

$$4z^{2}+8z+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$4z^{2}+8z=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4z^{2}+8z}{4}=-\frac{3}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$z^{2}+\frac{8}{4}z=-\frac{3}{4}$$

Διαιρέστε το 8 με το 4.

$$z^{2}+2z=-\frac{3}{4}$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}+2z+1^{2}=-\frac{3}{4}+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$z^{2}+2z+1=-\frac{3}{4}+1$$

Προσθέστε το -\frac{3}{4} και το 1.

$$z^{2}+2z+1=\frac{1}{4}$$

Παραγον z^{2}+2z+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+1\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$z+1=\frac{1}{2} z+1=-\frac{1}{2}$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=-\frac{1}{2} z=-\frac{3}{2}$$