Επίλυση 7x^2-22x+3

$$7 x ^ { 2 } - 22 x + 3$$

Παράγοντας

$$\left(x-3\right)\left(7x-1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 7x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-22 ab=7\times 3=21$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -22.

$$a=-21 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 7x^{2}-22x+3 ως \left(7x^{2}-21x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(-x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 7x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$7x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(7x-1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$7x^{2}-22x+3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 7\times 3}}{2\times 7}$$

Υψώστε το -22 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 7\times 3}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-28\times 3}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 484 και το -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 7}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -22 είναι 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{22±20}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±20}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 22 και το 20.

$$x=\frac{42}{14}$$

Διαιρέστε το 42 με το 14.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±20}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20 από 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 3 με το x_{1} και το \frac{1}{7} με το x_{2}.

$$7x^{2}-22x+3=7\left(x-3\right)\left(x-\frac{1}{7}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{7} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$7x^{2}-22x+3=7\left(x-3\right)\times \frac{7x-1}{7}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 7 σε 7 και 7.

$$7x^{2}-22x+3=\left(x-3\right)\left(7x-1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-3\right)\left(7x-1\right)$$