Επίλυση 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 7x^{2}+ax+bx-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -18.

$$a=-21 b=3$$

Γράψτε πάλι το 7x^{2}-18x-9 ως \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 7x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με -18 και το c με -9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Υψώστε το -18 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 324 και το 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -18 είναι 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{18±24}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 18 και το 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Διαιρέστε το 42 με το 14.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{18±24}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24 από 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Προσθέστε 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Η αφαίρεση του -9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Αφαιρέστε -9 από 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Διαιρέστε το -\frac{18}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{7} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Προσθέστε το \frac{9}{7} και το \frac{81}{49} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Παραγον x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Προσθέστε \frac{9}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$