Επίλυση 7x^2-12x+5

$$7 x ^ { 2 } - 12 x + 5$$

Παράγοντας

$$\left(x-1\right)\left(7x-5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 7x^{2}+ax+bx+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-12 ab=7\times 5=35$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 35.

$$-1,-35 -5,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-35=-36 -5-7=-12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -12.

$$a=-7 b=-5$$

Γράψτε πάλι το 7x^{2}-12x+5 ως \left(7x^{2}-7x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε 7x στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$7x\left(x-1\right)-5\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(7x-5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$7x^{2}-12x+5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-28\times 5}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-140}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 144 και το -140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{4}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2}{2\times 7}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±2}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{12±2}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±2}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 2.

$$x=\frac{14}{14}$$

Διαιρέστε το 14 με το 14.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±2}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από 12.

$$x=\frac{10}{14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{5}{7}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 1 με το x_{1} και το \frac{5}{7} με το x_{2}.

$$7x^{2}-12x+5=7\left(x-1\right)\left(x-\frac{5}{7}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{5}{7} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$7x^{2}-12x+5=7\left(x-1\right)\times \frac{7x-5}{7}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 7 σε 7 και 7.

$$7x^{2}-12x+5=\left(x-1\right)\left(7x-5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-1\right)\left(7x-5\right)$$