Επίλυση 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με 4 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 16 και το -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Διαιρέστε το -4+2i\sqrt{3} με το 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{3} από -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Διαιρέστε το -4-2i\sqrt{3} με το 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{7} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{7} και το \frac{4}{49} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Αφαιρέστε \frac{2}{7} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$