Επίλυση 7x^2+2x=9

$$7 x ^ { 2 } + 2 x = 9$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1,285714286$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 7x^{2}+ax+bx-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=-7 b=9$$

Γράψτε πάλι το 7x^{2}+2x-9 ως \left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right).

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 7x στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$7x\left(x-1\right)+9\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(7x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 7x+9=0.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$7x^{2}+2x=9$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$7x^{2}+2x-9=9-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με 2 και το c με -9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 4 και το 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{-2±16}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±16}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 16.

$$x=\frac{14}{14}$$

Διαιρέστε το 14 με το 14.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±16}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από -2.

$$x=-\frac{18}{14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+2x=9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=\frac{9}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=\frac{9}{7}$$

Διαιρέστε το \frac{2}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{7} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{9}{7}+\frac{1}{49}$$

Προσθέστε το \frac{9}{7} και το \frac{1}{49} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{64}{49}$$

Παραγον x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{64}{49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{49}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{8}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{8}{7}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{7} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$