Επίλυση 7-2(3x-1)^2=47

$$7 - 2 ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } = 47$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,490711985i$$

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+1,490711985i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x-1\right)^{2}.

$$7-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=47$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το 9x^{2}-6x+1.

$$7-18x^{2}+12x-2=47$$

Αφαιρέστε 2 από 7 για να λάβετε 5.

$$5-18x^{2}+12x=47$$

Αφαιρέστε 47 και από τις δύο πλευρές.

$$5-18x^{2}+12x-47=0$$

Αφαιρέστε 47 από 5 για να λάβετε -42.

$$-42-18x^{2}+12x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-18x^{2}+12x-42=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -18, το b με 12 και το c με -42 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-18\right)\left(-42\right)}}{2\left(-18\right)}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-18\right)\left(-42\right)}}{2\left(-18\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -18.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+72\left(-42\right)}}{2\left(-18\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 72 επί -42.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-3024}}{2\left(-18\right)}$$

Προσθέστε το 144 και το -3024.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-2880}}{2\left(-18\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -2880.

$$x=\frac{-12±24\sqrt{5}i}{2\left(-18\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -18.

$$x=\frac{-12±24\sqrt{5}i}{-36}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±24\sqrt{5}i}{-36} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 24i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-12+24\sqrt{5}i}{-36}$$

Διαιρέστε το -12+24i\sqrt{5} με το -36.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±24\sqrt{5}i}{-36} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24i\sqrt{5} από -12.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}i-12}{-36}$$

Διαιρέστε το -12-24i\sqrt{5} με το -36.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3} x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x-1\right)^{2}.

$$7-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=47$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το 9x^{2}-6x+1.

$$7-18x^{2}+12x-2=47$$

Αφαιρέστε 2 από 7 για να λάβετε 5.

$$5-18x^{2}+12x=47$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$-18x^{2}+12x=47-5$$

Αφαιρέστε 5 από 47 για να λάβετε 42.

$$-18x^{2}+12x=42$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -18.

$$\frac{-18x^{2}+12x}{-18}=\frac{42}{-18}$$

Η διαίρεση με το -18 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -18.

$$x^{2}+\frac{12}{-18}x=\frac{42}{-18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{-18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{42}{-18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{42}{-18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{7}{3} και το \frac{1}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Προσθέστε \frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$