Επίλυση 7(x-3)-5(x^2-1)=x^2-5(x+2)

$$7 ( x - 3 ) - 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) = x ^ { 2 } - 5 ( x + 2 )$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7 με το x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Προσθέστε -21 και 5 για να λάβετε -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Συνδυάστε το -5x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Προσθήκη 5x και στις δύο πλευρές.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Συνδυάστε το 7x και το 5x για να λάβετε 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Προσθήκη 10 και στις δύο πλευρές.

$$12x-16-6x^{2}+10=0$$

Προσθέστε -16 και 10 για να λάβετε -6.

$$12x-6-6x^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$2x-1-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=-\left(-1\right)=1$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=1 b=1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+2x-1 ως \left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το -x στην εξίσωση -x^{2}+x.

$$-x\left(x-1\right)+x-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(-x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και -x+1=0.

$$x=1 x=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7 με το x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Προσθέστε -21 και 5 για να λάβετε -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Συνδυάστε το -5x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Προσθήκη 5x και στις δύο πλευρές.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Συνδυάστε το 7x και το 5x για να λάβετε 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Προσθήκη 10 και στις δύο πλευρές.

$$12x-16-6x^{2}+10=0$$

Προσθέστε -16 και 10 για να λάβετε -6.

$$12x-6-6x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-6x^{2}+12x-6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -6, το b με 12 και το c με -6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-6\right)\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-6\right)\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+24\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 24 επί -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\left(-6\right)}$$

Προσθέστε το 144 και το -144.

$$x=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\left(-6\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{12}{2\left(-6\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -6.

$$x=-\frac{12}{-12}$$

Διαιρέστε το -12 με το -12.

$$x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7 με το x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Προσθέστε -21 και 5 για να λάβετε -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Συνδυάστε το -5x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Προσθήκη 5x και στις δύο πλευρές.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Συνδυάστε το 7x και το 5x για να λάβετε 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Προσθήκη 16 και στις δύο πλευρές.

$$12x-6x^{2}=-10+16$$

Προσθέστε -10 και 16 για να λάβετε 6.

$$12x-6x^{2}=6$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+12x=6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -6.

$$\frac{-6x^{2}+12x}{-6}=\frac{6}{-6}$$

Η διαίρεση με το -6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -6.

$$x^{2}+\frac{12}{-6}x=\frac{6}{-6}$$

Διαιρέστε το 12 με το -6.

$$x^{2}-2x=\frac{6}{-6}$$

Διαιρέστε το 6 με το -6.

$$x^{2}-2x=-1$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=-1+1$$

Προσθέστε το -1 και το 1.

$$x^{2}-2x+1=0$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=0 x-1=0$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=1$$