Mετάβαση στο κυρίως περιεχόμενο
Υπολογισμός
Tick mark Image
Διαφόριση ως προς x
Tick mark Image

Σχετικές έννοιες

e
e
Ο αριθμός e είναι σημαντική μαθηματική σταθερά, η οποία αποτελεί τη βάση του φυσικού λογαρίθμου. Είναι περίπου ίση με 2,71828, και είναι το όριο της ακολουθίας όσο το n πλησιάζει το άπειρο, μια έκφραση που προκύπτει από την μελέτη των σύνθετων τόκων. Η σταθερά μπορεί να οριστεί με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, μπορεί να οριστεί ως το άθροισμα της άπειρης σειράς. displaystylee=displaystylesumlimitsₙ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸdfrac1n!=1+frac11+frac11cdot2+frac11cdot2cdot3+cdots. Επίσης, ο e μπορεί να οριστεί ως ο μοναδικός θετικός αριθμός a, τέτοιος ώστε το γράφημα της συνάρτησης y = a έχει κλίση ίση με 1 όταν x = 0. Η συνάρτηση f = e ονομάζεται εκθετική και η αντίστροφή της είναι ο φυσικός λογάριθμος ή λογάριθμος με βάση το e. Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού k μπορεί επίσης να οριστεί άμεσα ως το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη y = 1/x μεταξύ x = 1 και x = k, όπου το e είναι ο αριθμός του οποίου ο φυσικός λογάριθμος είναι 1. Υπάρχουν και άλλοι εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί. Αποκαλούμενος μερικές φορές ως αριθμός Όιλερ από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ, ο e δεν πρέπει να συγχέεται με την γ, τη σταθερά Όιλερ–Μασκερόνι που μερικές φορές αναφέρεται απλά σταθερά Όιλερ. Ο αριθμός e είναι επίσης γνωστός ως σταθερά του Νέιπιερ, αλλά η επιλογή του Όιλερ του συμβόλου e λέγεται ότι έχει διατηρηθεί προς τιμήν του. Ο e ανακαλύφθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Γιακόμπ Μπερνούλι όταν μελετούσε σύνθετους τόκους. Ο αριθμός e είναι εξέχουσας σημασίας στα μαθηματικά, μαζί με το 0, το 1, το π και το i. Και οι πέντε από αυτούς τους αριθμούς παίζουν σημαντικό και επαναλαμβανόμενο ρόλο στα μαθηματικά και είναι οι πέντε σταθερές που εμφανίζονται σε μία διατύπωση της ταυτότητας του Όιλερ. Όπως και η σταθερά π, ο e είναι άρρητος, δηλ. δεν είναι λόγος ακεραίων, και είναι υπερβατικό, δηλ. δεν είναι ρίζα κανενός μη-μηδενικού πολυώνυμου με ρητούς συντελεστές. Η αριθμητική τιμή του e μέχρι τα 50 δεκαδικά ψηφία είναι 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995.... Οι πρώτες αναφορές στη σταθερά e δημοσιεύθηκαν το 1618 στον πίνακα του προσαρτήματος ενός έργου για τους λογαρίθμους από τον Τζον Νάπιερ. Ωστόσο αυτό δεν περιλαμβάνει την ίδια τη σταθερά, αλλά απλούστερα μια λίστα από λογαρίθμους που υπολογίζονται από τη σταθερά. Εκτιμάται ότι ο πίνακας γράφτηκε από τον Γουίλιαμ Ώτεντ. Η ανακάλυψη της ίδιας της σταθεράς πιστώνεται στον Γιακόμπ Μπερνούλι ο οποίος το 1683 προσπάθησε να βρει την τιμή του από την ακόλουθη έκφραση: displaystylelimₙₜₒᵢₙfₜyleft(1+frac1nright)ⁿ. Η πρώτη γνωστή χρήση της σταθεράς, που αντιστοιχεί στο γράμμα b, ήταν σε αλληλογραφία από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς στον Κρίστιαν Χόυχενς το 1690 και το 1691. Ο Λέοναρντ Όιλερ εισήγαγε το γράμμα e ως στη βάση για φυσικούς λογαρίθμους, γράφοντάς το σε επιστολή του στον Κρίστιαν Γκόλντμπαχ στις 25 Νοεμβρίου του 1731. Ο Όιλερ ξεκίνησε να χρησιμοποιεί το γράμμα e ως σταθερά το 1727 ή το 1728, σε ένα αδημοσίευτο έργο σχετικά με τις εκρηκτικές δυνάμεις σε κανόνια, και η πρώτη εμφάνιση του e σε μια δημοσίευση ήταν του Όιλερ, με τίτλο Μηχανική. Ενώ στα επόμενα χρόνια κάποιοι ερευνητές χρησιμοποίησαν το γράμμα c, το e ήταν το πιο γνωστό και τελικά έγινε το καθιερωμένο. Ο Γιακόμπ Μπερνούλι ανακάλυψε αυτή τη σταθερά μελετώντας μια ερώτηση σχετικά με τους σύνθετους τόκους: Αν ο τόκος πιστωθεί δύο φορές το έτος, το επιτόκιο για κάθε 6 μήνες θα είναι 50%, οπότε στο τέλος του πρώτου εξαμήνου θα ισχύει: (1+ 50%) = 1 + 0.5 = 1.5€ και τελικά στο τέλος του δευτέρου εξαμήνου προκύπτει: (1.5 + 50%) = 1.5 + 0.75 = 2.25€ στο τέλος του έτους. Υπολογίζοντας τις τριμηνιαίες αποδόσεις είναι 1.00€ × 1.254 = 2.4414€ ... και υπολογίζοντας του κάθε μήνα τις αποδόσεις είναι 1.00 × (1 + 1/12) 12 = 2,613035€ ... Αν υπάρχουν displaystyle n ίσα διαστήματα, ο τόκος για κάθε διάστημα θα είναι 100% / n και η αξία το τέλος του έτους θα είναι displaystyle1.00mathrmeurotimes(1+1/n)ⁿ. Ο Μπερνούλι παρατήρησε ότι αυτή η αλληλουχία πλησιάζει το όριο, με μεγαλύτερα displaystyle n και, ως εκ τούτου, τα μικρότερα διαστήματα τοκισμού. Για εβδομαδιαία διαστήματα, δηλαδή όταν displaystylen=52, η έκφραση δίενι 2.692597€ ..., ενώ ημερίσια διαστήματα, δηλαδή όταν displaystylen=365 αποδίδει 2.714567€ ..., μόλις δύο λεπτά περισσότερο. Το όριο καθώς το displaystyle n μεγαλώνει είναι ο αριθμός που έγινε γνωστός ως e. Με συνεχή ανατοκισμό, η αξία του λογαριασμού θα φτάσει τα 2.7182818€ .... Γενικότερα, ένας λογαριασμός που ξεκινάει από $ 1 και προσφέρει ετήσιο επιτόκιο R, μετά από t έτη, θα αποδίδει displaystyleeᴿᵀ€ με συνεχείς υπολογισμούς. (Εδώ το displaystyle R είναι ένα κλάσμα, έτσι για το επιτόκιο 5%, R = 5/100 =0,05) Ο ίδιος ο αριθμός e έχει επίσης εφαρμογές στη θεωρία πιθανοτήτων όπου προκύπτει, κατά τρόπο που δεν σχετίζεται προφανώς με εκθετική αύξηση. Ας υποθέσουμε ότι ένας παίκτης παίζει έναν κουλοχέρη που πληρώνει με πιθανότητα ένα προς displaystyle n και παίζει displaystyle n φορές. Στη συνέχεια, για μεγάλο displaystyle n (όπως ένα εκατομμύριο), η πιθανότητα ότι ο παίκτης θα χάσει κάθε στοίχημα είναι (περίπου) 1 / e. Για n = 20 είναι ήδη περίπου 1/2.79. Αυτό είναι ένα παράδειγμα της διαδικασίας των δοκιμών Μπερνούλι. Κάθε φορά που ο παίκτης παίζει με τον κουλοχέρη, υπάρχει μία προς displaystyle n πιθανότητα να κερδίσει. Παίζοντας ένα εκατομμύριο φορές διαμορφώνεται από τη διωνυμική κατανομή, η οποία είναι στενά συνδεδεμένη με το διωνυμικό θεώρημα. Η πιθανότητα της νίκης displaystyle k φορές μετά από displaystyle n δοκιμές είναι: displaystylePrleft(ktextνίκεςright)=binomnkcdotleft(frac1nright)ᵏcdotleft(1-frac1nright)ⁿ⁻ᵏ, όπου textstyletbinomnk είναι ο διωνυμικός συντελεστής displaystyle n ανά displaystyle k. Ειδικότερα, η πιθανότητα να μην νικήσει καμία φορά (displaystylek=0) είναι displaystylePrleft(textΚαμία νίκηright)=left(1-frac1nright)ⁿ. Το όριο της παραπάνω έκφρασης όσο το displaystyle n τείνει στο άπειρο είναι το displaystyle1/e, δηλαδή displaystylelimₙₜₒᵢₙfₜyleft(1-frac1nright)ⁿ=e⁻¹. Μια άλλη εφαρμογή του e, που ανακαλύφθηκε εν μέρει από τον Γιακόμπ Μπερνούλι μαζί με τον Γάλλο μαθηματικό Pierre Raymond de Montmort είναι το πρόβλημα διασάλευσης. Εδώ displaystyle n επισκέπτες καλούνται σε ένα πάρτι και στην πόρτα κάθε επισκέπτης δίνει το καπέλο του στον μπάτλερ ο οποίος τα τοποθετεί σε επίσημα κουτιά. Ο μπάτλερ δε γνωρίζει τα ονόματα των καλεσμένων και έτσι βάζει τα καπέλα τυχαία στα κουτιά. Στο τέλος του πάρτι δίνει τυχαία ένα κουτί σε κάθε καλεσμένο. Το πρόβλημα του de Montmort είναι: ποια είναι η πιθανότητα κανένα καπέλα να μην επιστραφεί στον σωστό αποδέκτη. Η απάντηση είναι: displaystylepₙ=1-frac11!+frac12!-frac13!+cdots+(-1)ⁿfrac1n!, και καθώς το displaystyle n τείνει στο άπειρο, το displaystylepₙ προσεγγίζει το displaystyle1/e. Το displaystyle e εμφανίζεται και σε πολλά άλλα μέρη των πιθανοτήτων, συμπεριλαμβανομένων του προβλήματος της γραμματέως και στην αναμενόμενη τιμή του μήκους μίας μονότονης ακολουθίας σε μία τυχαία μετάθεση. Ο αριθμός e εμφανίζεται στην ασυμπτωτική ανάλυση αρκετών συναρτήσεων. Το πιο δημοφιλές τέτοιο παράδειγμα είναι ο τύπος Στίρλινγκ για την ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης του παραγοντικού στην οποία εμφανίζεται ο e, αλλά και ο π: displaystylen!simsqrt2pi n,left(fracneright)ⁿquad ή ισοδύναμα displaystylequadlimₙₜₒᵢₙfₜyn!=fracsqrt2pi nleft(fracneright)ⁿ. Μια ιδιαίτερη συνέπεια του τύπου αυτού είναι ότι: displaystylee=limₙₜₒᵢₙfₜyfracnsqrt[n]n! Η πιο απλή περίπτωση μιας κανονικής κατανομής είναι η τυπική κανονική κατανομή, της οποίας η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι η εξής: displaystylephi(x)=frac1sqrt2picdote⁻ᶠʳᵃᶜˢᶜʳⁱᵖᵗˢᶜʳⁱᵖᵗˢᵗʸˡᵉ¹ˢᶜʳⁱᵖᵗˢᶜʳⁱᵖᵗˢᵗʸˡᵉ²ˣ². Ο σταθερός όρος textstylefrac1sqrt2pi διασφαλίζει πως το συνολικό εμβαδόν κάτω από την καμπύλη displaystylephi(x) είναι ένα. Ο όρος displaystyletfrac12 διασφαλίζει ότι η κατανομή έχει σταθερή τυπική απόκλιση. Η συνάρτηση είναι συμμετρική γύρω από το x=0, όπου επιτυγχάνει τη μέγιστη τιμή της : και έχει σημεία καμπής στο +1 και -1. Η κανονική κατανομή εμφανίζεται σε αρκετά φυσικά φαινόμενα και ως η οριακή κατανομή του αθροίσματος displaystyle n τυχαίων μεταβλητών από την ίδια κατανομή (δείτε το θεώρημα κεντρικού ορίου). Το βασικό κίνητρο για την εισαγωγή του αριθμού e, στον λογισμό, είναι για να εκτελεί διαφοροποίηση και ολοκλήρωση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων. Η παράγωγος μίας γενικής εκθετικής συνάρτησης displaystyley=aˣ, δίνεται από το εξής όριο: displaystylefracddxaˣ=limₕₜₒ₀fracaˣ⁺ʰ-aˣh=limₕₜₒ₀fracaˣaʰ-aˣh=aˣleft(limₕₜₒ₀fracaʰ-1hright). Το όριο στα δεξιά είναι ανεξάρτητο από την μεταβλητή displaystyle x. Εξαρτάται μόνο από την βάση displaystyle a. Όταν η βάση είναι displaystyle e, το όριο είναι ίσο με displaystyle1, και έτσι το e είναι συμβολικά ορίζεται από την εξίσωση: displaystylefracddxeˣ=eˣ, δηλαδή η εκθετική συνάρτηση με βάση το e είναι ίση με την παράγωγό της. Συχνά επιλέγεται ως βάση το e για απλοποίηση των πράξεων. Ένα άλλο κίνητρο έρχεται από την εξέταση της βάσης λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψιν τον ορισμό της παραγώγου του displaystylelogₐx είναι το όριο: displaystylefracddxlogₐx=limₕₜₒ₀fraclogₐ(x+h)-logₐ(x)h=frac1xleft(limᵤₜₒ₀frac1ulogₐ(1+u)right), όπου στο τελευταίο βήμα κάναμε την αντικατάσταση displaystyleu=h/x. Το τελευταίο όριο που εμφανίζονται σε αυτό τον υπολογισμό είναι και πάλι ένα απροσδιόριστο όριο που εξαρτάται μόνο από τη βάση displaystyle a, και αν αυτή η βάση είναι displaystyle e, τότε το όριο είναι ίσο με displaystyle1. Έτσι συμβολικά : displaystylefracddxlogₑx=frac1x. Ο λογάριθμος σε αυτή την ειδική βάση ονομάζεται ο φυσικός λογάριθμος και αναπαρίσταται ως displaystyleln, συμπεριφέρεται καλά κατά τη διαφοροποίηση. Υπάρχουν λοιπόν δύο τρόποι με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε έναν ειδικό αριθμό displaystylea=e. Ένας τρόπος είναι να ορίσουμε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης displaystyleaˣ ώστε να είναι ίση με displaystyleaˣ. Ο άλλος τρόπος είναι να θέσουμε την παράγωγο της βάσης του λογαρίθμου σε displaystyle1/x και να λύσουμε προς displaystyle a. Σε κάθε περίπτωση φτάνει κανείς σε μια βολική επιλογή της βάσης. Στην πραγματικότητα, αυτές οι δύο λύσεις δίνουν τον ίδιο αριθμό displaystyle e για βάση. Άλλοι χαρακτηρισμοί του e που είναι επίσης πιθανοί: ένας είναι ως το όριο μιας ακολουθίας, άλλος είναι ως το άθροισμα μίας άπειρης σειράς και μερικοί ακόμα βασίζονται στον ολοκληρωτικό λογισμό. Μέχρι στιγμής, έχουμε εισάγει τους εξής δύο ορισμούς: Οι ακόλουθοι τρεις χαρακτηρισμοί μπορούν να αποδειχθούν επίσης ισοδύναμοι: Όπως αναφέραμε παραπάνω η εκθετική συνάρτηση eˣ είναι σημαντική εν μέρει επειδή είναι η μοναδική με μη τετριμμένη συνάρτηση η οποία είναι δική του παράγωγος displaystylefracddxeˣ=eˣ και ως εκ τούτου η δική του αντιπαράγωγος, καθώς και: displaystyleinteˣ,dx=eˣ+C. Το πρόβλημα του Στάινερ αναζητά την εύρεση του ολικού μέγιστου για την συνάρτηση displaystylef(x)=sqrt[x]x. Αυτό εμφανίζεται στο displaystylex=e. Παρομοίως, στο displaystylex=1/e βρίσκεται το ολικό ελάχιστο για τη συνάρτηση displaystylef(x)=xˣ, που ορίζεται για τη θετικά displaystyle x. Γενικότερα, για κάθε displaystylen>0 η συνάρτηση displaystylef(x)=xˣⁿ, έχει ολικό ελάχιστο στο displaystylex=e⁻¹/ⁿ. Σχετικά με αυτό το, άπειρο επαναλαμβανόμενο εκθετικό displaystylexˣˣᶜᵈᵒᵗᶜᵈᵒᵗᶜᵈᵒᵗ συγκλίνει αν και μόνο αν e ≤ x ≤ e (δηλαδή όταν το displaystyle x είναι περίπου μεταξύ των 0.0660 και 1.4447), σύμφωνα με το θεώρημα του Όιλερ. Ο πραγματικός αριθμός e είναι άρρητος. Ο Όιλερ απέδειξε αυτό, δείχνοντας ότι το απλό συνεχές κλάσμα του είναι άπειρο. Επιπλέον, από το θεώρημα Λίντεμαν-Βάιερστρας, το e είναι υπερβατικό, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι μια λύση μιας οποιασδήποτε πολυωνυμικής μη σταθερής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ότι είναι υπερβατικός χωρίς να έχει κατασκευαστεί ειδικά για το σκοπό αυτό. Η απόδειξη δόθηκε από τον Σαρλ Ερμίτ το 1873. Εικάζεται ότι το e είναι κανονικός αριθμός, γεγονός που σημαίνει ότι όταν το e εκφράζεται σε οποιαδήποτε βάση τα πιθανά ψηφία στην εν λόγω βάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα. Η εκθετική συνάρτηση eˣ μπορεί να γραφεί ως μια σειρά Τέιλορ displaystyleeˣ=1+xover1!+x²over2!+x³over3!+cdots=sumₙ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸfracxⁿn!. Επειδή αυτή η σειρά συγκλίνει ακόμη και όταν το displaystyle x είναι μιγαδικός αριθμός, συνήθως χρησιμοποιείται για την επέκταση του ορισμού τςη eˣ στο μιγαδικό επίπεδο. Συνδυάζοντας αυτό με τη σειρά Τέιλορ για τα displaystyle sin x και displaystyle cos x, οδηγούμαστε στον τύπο του Όιλερ: displaystyleeⁱˣ=cosx+isin x, ο οποίος ισχύει για όλα τα displaystyle x. Η ειδική περίπτωση displaystylex=pi δίνει την γνωστή ταυτότητα του Όιλερ: displaystyleeⁱᵖⁱ+1=0, από την οποία προκύπτει ότι, στο κύριο κλάδο του λογαρίθμου, displaystyleln(-1)=ipi.,! Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τους νόμους για την ύψωση σε δύναμη, displaystyle(cosx+isin x)ⁿ=left(eⁱˣright)ⁿ=eⁱⁿˣ=cos(nx)+isin(nx) ο οποίος είναι ο τύπος του ντε Μουάβρ. Η έκφραση displaystylecosx+isin x, αναφέρεται μερικές φορές ως cis. Η γενική συνάρτηση displaystyley(x)=Ceˣ, είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης displaystyleyʼ=y. Ο αριθμός e μπορεί να παρασταθεί ως πραγματικός αριθμός με διάφορους τρόπους: ως άπειρη σειρά, ως ένα άπειρο προϊόν, ως ένα συνεχές κλάσμα, ή ένα όριο μιας ακολουθίας. Η επικεφαλής μεταξύ αυτών των αναπαραστάσεων, κυρίως σε εισαγωγικά μαθήματα λογισμού είναι το όριο displaystylelimₙₜₒᵢₙfₜyleft(1+frac1nright)ⁿ, που δόθηκε παραπάνω, καθώς επίσης και η σειρά displaystylee=sumₙ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸfrac1n! δίνεται από τον υπολογισμό της παραπάνω σειράς από το eˣ στο x = 1. Λιγότερο γνωστό είναι το συνεχιζόμενο κλάσμα. displaystylee=[2;1,mathbf2,1,1,mathbf4,1,1,mathbf6,1,1,...,mathbf2n,1,1,...]=[1;mathbf0,1,1,mathbf2,1,1,mathbf4,1,1,...,mathbf2n,1,1,...], το οποίο ανεπτυγμένο γράφεται ως εξής displaystylee=2+cfrac11+cfrac1mathbf2+cfrac11+cfrac11+cfrac1mathbf4+cfrac11+cfrac11+ddots=1+cfrac1mathbf0+cfrac11+cfrac11+cfrac1mathbf2+cfrac11+cfrac11+cfrac1mathbf4+cfrac11+cfrac11+ddots. Αυτό το συνεχές κλάσμα για το e συγκλίνει τρεις φορές πιο γρήγορα από το: displaystylee=[1;0.5,12,5,28,9,44,13,ldots,4(4n-1),(4n+1),ldots], το οποίο αναγραμμένο μοιάζει με displaystylee=1+cfrac21+cfrac16+cfrac110+cfrac114+cfrac118+cfrac122+cfrac126+ddots,. Πολλές άλλες σειρές, η ακολουθία, το συνεχές κλάσμα, και οι άπειρες παραστάσεις των προϊόντων του e έχουν αναπτυχθεί. Εκτός από τις ακριβείς αναλυτικές εκφράσεις για το e, υπάρχουν στοχαστικές τεχνικές για την εκτίμηση του ε. Μία τέτοια προσέγγιση ξεκινά με μια άπειρη ακολουθία ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών displaystyleX₁,X₂,ldots, προέρχονται από την ομοιόμορφη κατανομή στο displaystyle[0,1]. Έστω displaystyle V ελάχιστος αριθμός displaystyle n, τέτοιος ώστε το άθροισμα των πρώτων displaystyle n δειγμάτων να υπερβαίνει το displaystyle1. Τότε, η αναμενόμενη τιμή του displaystyle V είναι το e, δηλαδή displaystyleE[V]=e. Το πλήθος των γνωστών ψηφίων του e έχει βελτιωθεί δραματικά κατά την διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών. Αυτό οφείλεται τόσο στην αυξημένη απόδοση των υπολογιστών όσο και στις αλγοριθμικές βελτιώσεις.

Παρόμοια προβλήματα από την Αναζήτηση στο web

Κοινοποίηση