Επίλυση 660x^2+524x+85

$$660 { x }^{ 2 } +524x+85$$

Παράγοντας

$$\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 660x^{2}+ax+bx+85. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=524 ab=660\times 85=56100$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 56100.

$$1,56100 2,28050 3,18700 4,14025 5,11220 6,9350 10,5610 11,5100 12,4675 15,3740 17,3300 20,2805 22,2550 25,2244 30,1870 33,1700 34,1650 44,1275 50,1122 51,1100 55,1020 60,935 66,850 68,825 75,748 85,660 100,561 102,550 110,510 132,425 150,374 165,340 170,330 187,300 204,275 220,255$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+56100=56101 2+28050=28052 3+18700=18703 4+14025=14029 5+11220=11225 6+9350=9356 10+5610=5620 11+5100=5111 12+4675=4687 15+3740=3755 17+3300=3317 20+2805=2825 22+2550=2572 25+2244=2269 30+1870=1900 33+1700=1733 34+1650=1684 44+1275=1319 50+1122=1172 51+1100=1151 55+1020=1075 60+935=995 66+850=916 68+825=893 75+748=823 85+660=745 100+561=661 102+550=652 110+510=620 132+425=557 150+374=524 165+340=505 170+330=500 187+300=487 204+275=479 220+255=475$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 524.

$$a=150 b=374$$

Γράψτε πάλι το 660x^{2}+524x+85 ως \left(660x^{2}+150x\right)+\left(374x+85\right).

$$\left(660x^{2}+150x\right)+\left(374x+85\right)$$

Παραγοντοποιήστε 30x στο πρώτο και στο 17 της δεύτερης ομάδας.

$$30x\left(22x+5\right)+17\left(22x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 22x+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$660x^{2}+524x+85=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-524±\sqrt{524^{2}-4\times 660\times 85}}{2\times 660}$$

Υψώστε το 524 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-524±\sqrt{274576-4\times 660\times 85}}{2\times 660}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 660.

$$x=\frac{-524±\sqrt{274576-2640\times 85}}{2\times 660}$$

Πολλαπλασιάστε το -2640 επί 85.

$$x=\frac{-524±\sqrt{274576-224400}}{2\times 660}$$

Προσθέστε το 274576 και το -224400.

$$x=\frac{-524±\sqrt{50176}}{2\times 660}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 50176.

$$x=\frac{-524±224}{2\times 660}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 660.

$$x=\frac{-524±224}{1320}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-524±224}{1320} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -524 και το 224.

$$x=-\frac{300}{1320}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-300}{1320} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 60.

$$x=-\frac{5}{22}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-524±224}{1320} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 224 από -524.

$$x=-\frac{748}{1320}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-748}{1320} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 44.

$$x=-\frac{17}{30}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{5}{22} με το x_{1} και το -\frac{17}{30} με το x_{2}.

$$660x^{2}+524x+85=660\left(x-\left(-\frac{5}{22}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{17}{30}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$660x^{2}+524x+85=660\left(x+\frac{5}{22}\right)\left(x+\frac{17}{30}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{22} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$660x^{2}+524x+85=660\times \frac{22x+5}{22}\left(x+\frac{17}{30}\right)$$

Προσθέστε το \frac{17}{30} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$660x^{2}+524x+85=660\times \frac{22x+5}{22}\times \frac{30x+17}{30}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{22x+5}{22} επί \frac{30x+17}{30} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$660x^{2}+524x+85=660\times \frac{\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)}{22\times 30}$$

Πολλαπλασιάστε το 22 επί 30.

$$660x^{2}+524x+85=660\times \frac{\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)}{660}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 660 σε 660 και 660.

$$660x^{2}+524x+85=\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)$$