Επίλυση 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0,419262746+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0,419262746-0,582961191i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 64, το b με 24\sqrt{5} και το c με 33 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Υψώστε το 24\sqrt{5} στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Πολλαπλασιάστε το -256 επί 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Προσθέστε το 2880 και το -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -24\sqrt{5} και το 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Διαιρέστε το -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} με το 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8i\sqrt{87} από -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Διαιρέστε το -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} με το 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Αφαιρέστε 33 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Η αφαίρεση του 33 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

Η διαίρεση με το 64 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Διαιρέστε το 24\sqrt{5} με το 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Διαιρέστε το \frac{3\sqrt{5}}{8}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3\sqrt{5}}{16}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3\sqrt{5}}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3\sqrt{5}}{16} στο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Προσθέστε το -\frac{33}{64} και το \frac{45}{256} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Παραγον x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Αφαιρέστε \frac{3\sqrt{5}}{16} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$