Επίλυση 6(1/x+1/x+5)=1

$$6( \frac{ 1 }{ x } + \frac{ 1 }{ x+5 } )=1$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -5,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6x\left(x+5\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Συνδυάστε το 6x και το 6x για να λάβετε 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Συνδυάστε το 12x και το -5x για να λάβετε 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=-30=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=10 b=-3$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+7x+30 ως \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-10\right)\left(-x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-10=0 και -x-3=0.

$$x=10 x=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -5,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6x\left(x+5\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Συνδυάστε το 6x και το 6x για να λάβετε 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Συνδυάστε το 12x και το -5x για να λάβετε 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 7 και το c με 30 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 49 και το 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-7±13}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±13}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 13.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Διαιρέστε το 6 με το -2.

$$x=-3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±13}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -7.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Διαιρέστε το -20 με το -2.

$$x=10$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-3 x=10$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -5,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6x\left(x+5\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Συνδυάστε το 6x και το 6x για να λάβετε 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Συνδυάστε το 12x και το -5x για να λάβετε 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$7x-x^{2}=-30$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x=-30$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Διαιρέστε το 7 με το -1.

$$x^{2}-7x=-\frac{30}{-1}$$

Διαιρέστε το -30 με το -1.

$$x^{2}-7x=30$$

Διαιρέστε το -7, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Προσθέστε το 30 και το \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Παραγον x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Προσθέστε \frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=10 x=-3$$