Επίλυση 6z^2-11z=-7z-4

$$6 z ^ { 2 } - 11 z = - 7 z - 4$$

Λύση ως προς z

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+0,745355992i$$

$$z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-0,745355992i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Προσθήκη 7z και στις δύο πλευρές.

$$6z^{2}-11z+7z=-4$$

Συνδυάστε το -11z και το 7z για να λάβετε -4z.

$$6z^{2}-4z=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$6z^{2}-4z+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -4 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-24\times 4}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 4.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-96}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 16 και το -96.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-80}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -80.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 4i\sqrt{5}.

$$z=\frac{4+4\sqrt{5}i}{12}$$

Διαιρέστε το 4+4i\sqrt{5} με το 12.

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{5} από 4.

$$z=\frac{-4\sqrt{5}i+4}{12}$$

Διαιρέστε το 4-4i\sqrt{5} με το 12.

$$z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3} z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Προσθήκη 7z και στις δύο πλευρές.

$$6z^{2}-11z+7z=-4$$

Συνδυάστε το -11z και το 7z για να λάβετε -4z.

$$6z^{2}-4z=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6z^{2}-4z}{6}=-\frac{4}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$z^{2}+\left(-\frac{4}{6}\right)z=-\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$z^{2}-\frac{2}{3}z=-\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$z^{2}-\frac{2}{3}z=-\frac{2}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}-\frac{2}{3}z+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$z^{2}-\frac{2}{3}z+\frac{1}{9}=-\frac{2}{3}+\frac{1}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{2}{3} και το \frac{1}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$z^{2}-\frac{2}{3}z+\frac{1}{9}=-\frac{5}{9}$$

Παραγον z^{2}-\frac{2}{3}z+\frac{1}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$z-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{5}i}{3} z-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{5}i}{3}$$

Προσθέστε \frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3} z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}$$