Επίλυση 6z^2+10z+3=0

$$6 z ^ { 2 } + 10 z + 3 = 0$$

Λύση ως προς z

$$z=\frac{\sqrt{7}-5}{6}\approx -0,392374781$$

$$z=\frac{-\sqrt{7}-5}{6}\approx -1,274291885$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6z^{2}+10z+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με 10 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$z=\frac{-10±\sqrt{100-24\times 3}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 3.

$$z=\frac{-10±\sqrt{100-72}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 100 και το -72.

$$z=\frac{-10±\sqrt{28}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 28.

$$z=\frac{-10±2\sqrt{7}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$z=\frac{-10±2\sqrt{7}}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-10±2\sqrt{7}}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 2\sqrt{7}.

$$z=\frac{2\sqrt{7}-10}{12}$$

Διαιρέστε το -10+2\sqrt{7} με το 12.

$$z=\frac{\sqrt{7}-5}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-10±2\sqrt{7}}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{7} από -10.

$$z=\frac{-2\sqrt{7}-10}{12}$$

Διαιρέστε το -10-2\sqrt{7} με το 12.

$$z=\frac{-\sqrt{7}-5}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=\frac{\sqrt{7}-5}{6} z=\frac{-\sqrt{7}-5}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6z^{2}+10z+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6z^{2}+10z+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6z^{2}+10z=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6z^{2}+10z}{6}=-\frac{3}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$z^{2}+\frac{10}{6}z=-\frac{3}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$z^{2}+\frac{5}{3}z=-\frac{3}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-3}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$z^{2}+\frac{5}{3}z=-\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{5}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}+\frac{5}{3}z+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$z^{2}+\frac{5}{3}z+\frac{25}{36}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{36}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{2} και το \frac{25}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$z^{2}+\frac{5}{3}z+\frac{25}{36}=\frac{7}{36}$$

Παραγον z^{2}+\frac{5}{3}z+\frac{25}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{7}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$z+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{7}}{6} z+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{7}}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=\frac{\sqrt{7}-5}{6} z=\frac{-\sqrt{7}-5}{6}$$