Επίλυση 6y^2+5y-4

$$6 y ^ { 2 } + 5 y - 4$$

Παράγοντας

$$\left(2y-1\right)\left(3y+4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6y^{2}+ay+by-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=6\left(-4\right)=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-3 b=8$$

Γράψτε πάλι το 6y^{2}+5y-4 ως \left(6y^{2}-3y\right)+\left(8y-4\right).

$$\left(6y^{2}-3y\right)+\left(8y-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3y στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$3y\left(2y-1\right)+4\left(2y-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2y-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2y-1\right)\left(3y+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6y^{2}+5y-4=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6\left(-4\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6\left(-4\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-24\left(-4\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -4.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 25 και το 96.

$$y=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$y=\frac{-5±11}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$y=\frac{-5±11}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-5±11}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 11.

$$y=\frac{6}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$y=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-5±11}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -5.

$$y=-\frac{16}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y=-\frac{4}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{2} με το x_{1} και το -\frac{4}{3} με το x_{2}.

$$6y^{2}+5y-4=6\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6y^{2}+5y-4=6\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{4}{3}\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{1}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6y^{2}+5y-4=6\times \frac{2y-1}{2}\left(y+\frac{4}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6y^{2}+5y-4=6\times \frac{2y-1}{2}\times \frac{3y+4}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2y-1}{2} επί \frac{3y+4}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$6y^{2}+5y-4=6\times \frac{\left(2y-1\right)\left(3y+4\right)}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$6y^{2}+5y-4=6\times \frac{\left(2y-1\right)\left(3y+4\right)}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 6 και 6.

$$6y^{2}+5y-4=\left(2y-1\right)\left(3y+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2y-1\right)\left(3y+4\right)$$