Επίλυση 6y+9y^2-15

$$6 y + 9 y ^ { 2 } - 15$$

Παράγοντας

$$3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 3.

$$3\left(2y+3y^{2}-5\right)$$

Υπολογίστε 2y+3y^{2}-5. Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$3y^{2}+2y-5$$

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3y^{2}+ay+by-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -15.

$$-1,15 -3,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=-3 b=5$$

Γράψτε πάλι το 3y^{2}+2y-5 ως \left(3y^{2}-3y\right)+\left(5y-5\right).

$$\left(3y^{2}-3y\right)+\left(5y-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3y στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$3y\left(y-1\right)+5\left(y-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}+6y-15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -15.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+540}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 36 και το 540.

$$y=\frac{-6±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 576.

$$y=\frac{-6±24}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$y=\frac{-6±24}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-6±24}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 24.

$$y=\frac{18}{18}$$

Διαιρέστε το 18 με το 18.

$$y=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-6±24}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24 από -6.

$$y=-\frac{30}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 1 με το x_{1} και το -\frac{5}{3} με το x_{2}.

$$9y^{2}+6y-15=9\left(y-1\right)\left(y-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$9y^{2}+6y-15=9\left(y-1\right)\left(y+\frac{5}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{3} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$9y^{2}+6y-15=9\left(y-1\right)\times \frac{3y+5}{3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 9 και 3.

$$9y^{2}+6y-15=3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Υπολογισμός

$$3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$