Επίλυση 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 40 και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-40. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-16 b=15$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}-x-40 ως \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην πρώτη και το 5 στη δεύτερη ομάδα.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 3x-8=0 και 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-x=40$$

Αφαιρέστε 40 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

Η αφαίρεση του 40 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -1 και το c με -40 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 1 και το 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±31}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{32}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±31}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 31 από 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{40}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Προσθέστε το \frac{20}{3} και το \frac{1}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Προσθέστε \frac{1}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$