Επίλυση 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-10 b=9$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}-x-15 ως \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην πρώτη και το 3 στη δεύτερη ομάδα.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 3x-5=0 και 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-x=15$$

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Η αφαίρεση του 15 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -1 και το c με -15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 1 και το 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±19}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{20}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±19}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{15}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το \frac{1}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Προσθέστε \frac{1}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$