Επίλυση 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-9 b=2$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}-7x-3 ως \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην εξίσωση 6x^{2}-9x.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 2x-3=0 και 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -7 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 49 και το 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±11}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{18}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±11}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Η αφαίρεση του -3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Αφαιρέστε -3 από 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{3}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το \frac{49}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Προσθέστε \frac{7}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$