Επίλυση 6x^2-5x-6=0

$$6 x ^ { 2 } - 5 x - 6 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-9 b=4$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}-5x-6 ως \left(6x^{2}-9x\right)+\left(4x-6\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(4x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-3=0 και 3x+2=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-5x-6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -5 και το c με -6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 25 και το 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{5±13}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±13}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 13.

$$x=\frac{18}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{18}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±13}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 5.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-6=0$$

Προσθέστε 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Η αφαίρεση του -6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-6\right)$$

Αφαιρέστε -6 από 0.

$$6x^{2}-5x=6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{6}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το 6 με το 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=1$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

Προσθέστε το 1 και το \frac{25}{144}.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

Παραγον x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

Προσθέστε \frac{5}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$