Επίλυση 6x^2-3x-45

$$6 x ^ { 2 } - 3 x - 45$$

Παράγοντας

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 3.

$$3\left(2x^{2}-x-15\right)$$

Υπολογίστε 2x^{2}-x-15. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-6 b=5$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-x-15 ως \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην πρώτη και το 5 στη δεύτερη ομάδα.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-3x-45=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-24\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -45.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+1080}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 9 και το 1080.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1089}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1089.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±33}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$x=\frac{3±33}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{3±33}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±33}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 33.

$$x=\frac{36}{12}$$

Διαιρέστε το 36 με το 12.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±33}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 33 από 3.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 3 με x_{1} και το -\frac{5}{2} με x_{2}.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\times \frac{2x+5}{2}$$

Απαλοιφή του 2, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 6 και 2.

$$6x^{2}-3x-45=3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$