Επίλυση 6x^2-2x-4=0

$$6 x ^ { 2 } - 2 x - 4 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$1,-6 2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-3 b=2$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-x-2 ως \left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-2x-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -2 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 6\left(-4\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 6\left(-4\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-24\left(-4\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+96}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 4 και το 96.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{100}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±10}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±10}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{2±10}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±10}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 10.

$$x=\frac{12}{12}$$

Διαιρέστε το 12 με το 12.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±10}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από 2.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-2x-4=0$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}-2x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Η αφαίρεση του -4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}-2x=-\left(-4\right)$$

Αφαιρέστε -4 από 0.

$$6x^{2}-2x=4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-2x}{6}=\frac{4}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{6}\right)x=\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το \frac{1}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Προσθέστε \frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$