Επίλυση 6x^2-14x-9=0

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2,858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0,524815261$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -14 και το c με -9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 196 και το 216.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 412.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 2\sqrt{103}.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

Διαιρέστε το 14+2\sqrt{103} με το 12.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{103} από 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

Διαιρέστε το 14-2\sqrt{103} με το 12.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Προσθέστε 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Η αφαίρεση του -9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

Αφαιρέστε -9 από 0.

$$6x^{2}-14x=9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{9}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το \frac{49}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

Παραγον x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

Προσθέστε \frac{7}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$