Επίλυση 6x^2-12x-210=0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x - 210 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-5$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$x^{2}-2x-35=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-35. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-2 ab=1\left(-35\right)=-35$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -35.

$$1,-35 5,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-35=-34 5-7=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -2.

$$a=-7 b=5$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-2x-35 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(5x-35\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(5x-35\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-7\right)+5\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x+5=0.

$$x=7 x=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-12x-210=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -12 και το c με -210 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\left(-210\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 6\left(-210\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-24\left(-210\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -210.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+5040}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 144 και το 5040.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{5184}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 5184.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±72}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±72}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{12±72}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±72}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 72.

$$x=\frac{84}{12}$$

Διαιρέστε το 84 με το 12.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±72}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 72 από 12.

$$x=-\frac{60}{12}$$

Διαιρέστε το -60 με το 12.

$$x=-5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=-5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-12x-210=0$$

Προσθέστε 210 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}-12x-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Η αφαίρεση του -210 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}-12x=-\left(-210\right)$$

Αφαιρέστε -210 από 0.

$$6x^{2}-12x=210$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-12x}{6}=\frac{210}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{6}\right)x=\frac{210}{6}$$

Διαιρέστε το -12 με το 6.

$$x^{2}-2x=\frac{210}{6}$$

Διαιρέστε το 210 με το 6.

$$x^{2}-2x=35$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=35+1$$

Προσθέστε το 35 και το 1.

$$x^{2}-2x+1=36$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=36$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=6 x-1=-6$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=-5$$