Επίλυση 6x^2+9x-27

$$6 x ^ { 2 } + 9 x - 27$$

Παράγοντας

$$3\left(2x-3\right)\left(x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 3.

$$3\left(2x^{2}+3x-9\right)$$

Υπολογίστε 2x^{2}+3x-9. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-3 b=6$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+3x-9 ως \left(2x^{2}-3x\right)+\left(6x-9\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(6x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(2x-3\right)+3\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(x+3\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$3\left(2x-3\right)\left(x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}+9x-27=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 6\left(-27\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 6\left(-27\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-24\left(-27\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -27.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+648}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 81 και το 648.

$$x=\frac{-9±\sqrt{729}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 729.

$$x=\frac{-9±27}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{-9±27}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±27}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 27.

$$x=\frac{18}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{18}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±27}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 27 από -9.

$$x=-\frac{36}{12}$$

Διαιρέστε το -36 με το 12.

$$x=-3$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{2} με το x_{1} και το -3 με το x_{2}.

$$6x^{2}+9x-27=6\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6x^{2}+9x-27=6\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+3\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{3}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}+9x-27=6\times \frac{2x-3}{2}\left(x+3\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 6 και 2.

$$6x^{2}+9x-27=3\left(2x-3\right)\left(x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$3\left(2x-3\right)\left(x+3\right)$$