Επίλυση 6v^2+17v+5

$$6 v ^ { 2 } + 17 v + 5$$

Παράγοντας

$$\left(2v+5\right)\left(3v+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6v^{2}+av+bv+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=6\times 5=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=2 b=15$$

Γράψτε πάλι το 6v^{2}+17v+5 ως \left(6v^{2}+2v\right)+\left(15v+5\right).

$$\left(6v^{2}+2v\right)+\left(15v+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2v στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2v\left(3v+1\right)+5\left(3v+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3v+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6v^{2}+17v+5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$v=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-24\times 5}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 5.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 289 και το -120.

$$v=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$v=\frac{-17±13}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$v=\frac{-17±13}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση v=\frac{-17±13}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -17 και το 13.

$$v=-\frac{4}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$v=-\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση v=\frac{-17±13}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -17.

$$v=-\frac{30}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$v=-\frac{5}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{1}{3} με το x_{1} και το -\frac{5}{2} με το x_{2}.

$$6v^{2}+17v+5=6\left(v-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6v^{2}+17v+5=6\left(v+\frac{1}{3}\right)\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{3} και το v βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{3v+1}{3}\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το v βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{3v+1}{3}\times \frac{2v+5}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3v+1}{3} επί \frac{2v+5}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)}{3\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 2.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 6 και 6.

$$6v^{2}+17v+5=\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2v+5\right)\left(3v+1\right)$$