Επίλυση 6t^2+t-12

$$6 t ^ { 2 } + t - 12$$

Παράγοντας

$$\left(3t-4\right)\left(2t+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6t^{2}+at+bt-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=6\left(-12\right)=-72$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-8 b=9$$

Γράψτε πάλι το 6t^{2}+t-12 ως \left(6t^{2}-8t\right)+\left(9t-12\right).

$$\left(6t^{2}-8t\right)+\left(9t-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2t στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2t\left(3t-4\right)+3\left(3t-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3t-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3t-4\right)\left(2t+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6t^{2}+t-12=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -12.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 1 και το 288.

$$t=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$t=\frac{-1±17}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$t=\frac{-1±17}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-1±17}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 17.

$$t=\frac{16}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$t=\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-1±17}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -1.

$$t=-\frac{18}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{4}{3} με το x_{1} και το -\frac{3}{2} με το x_{2}.

$$6t^{2}+t-12=6\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6t^{2}+t-12=6\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t+\frac{3}{2}\right)$$

Αφαιρέστε t από \frac{4}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6t^{2}+t-12=6\times \frac{3t-4}{3}\left(t+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το t βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6t^{2}+t-12=6\times \frac{3t-4}{3}\times \frac{2t+3}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3t-4}{3} επί \frac{2t+3}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$6t^{2}+t-12=6\times \frac{\left(3t-4\right)\left(2t+3\right)}{3\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 2.

$$6t^{2}+t-12=6\times \frac{\left(3t-4\right)\left(2t+3\right)}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 6 και 6.

$$6t^{2}+t-12=\left(3t-4\right)\left(2t+3\right)$$

Υπολογισμός

$$6t^{2}+t-12$$