Επίλυση 6r^2-11r+4

$$6 r ^ { 2 } - 11 r + 4$$

Παράγοντας

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6r^{2}+ar+br+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-11 ab=6\times 4=24$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-8 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 6r^{2}-11r+4 ως \left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right).

$$\left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2r στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$2r\left(3r-4\right)-\left(3r-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3r-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6r^{2}-11r+4=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-24\times 4}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 4.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 121 και το -96.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$r=\frac{11±5}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$r=\frac{11±5}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{11±5}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το 5.

$$r=\frac{16}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$r=\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{11±5}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 11.

$$r=\frac{6}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$r=\frac{1}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{4}{3} με το x_{1} και το \frac{1}{2} με το x_{2}.

$$6r^{2}-11r+4=6\left(r-\frac{4}{3}\right)\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

Αφαιρέστε r από \frac{4}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

Αφαιρέστε r από \frac{1}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\times \frac{2r-1}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3r-4}{3} επί \frac{2r-1}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{3\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 2.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 6 και 6.

$$6r^{2}-11r+4=\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$