Επίλυση 6r^2+29r-42

$$6 r ^ { 2 } + 29 r - 42$$

Παράγοντας

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6r^{2}+ar+br-42. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=29 ab=6\left(-42\right)=-252$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -252.

$$-1,252 -2,126 -3,84 -4,63 -6,42 -7,36 -9,28 -12,21 -14,18$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+252=251 -2+126=124 -3+84=81 -4+63=59 -6+42=36 -7+36=29 -9+28=19 -12+21=9 -14+18=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 29.

$$a=-7 b=36$$

Γράψτε πάλι το 6r^{2}+29r-42 ως \left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right).

$$\left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right)$$

Παραγοντοποιήστε r στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$r\left(6r-7\right)+6\left(6r-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 6r-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6r^{2}+29r-42=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$r=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 29 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-24\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -42.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841+1008}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 841 και το 1008.

$$r=\frac{-29±\sqrt{1849}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1849.

$$r=\frac{-29±43}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$r=\frac{-29±43}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-29±43}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -29 και το 43.

$$r=\frac{14}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$r=\frac{7}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-29±43}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 43 από -29.

$$r=-\frac{72}{12}$$

Διαιρέστε το -72 με το 12.

$$r=-6$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{7}{6} με το x_{1} και το -6 με το x_{2}.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r-\left(-6\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r+6\right)$$

Αφαιρέστε r από \frac{7}{6} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6r^{2}+29r-42=6\times \frac{6r-7}{6}\left(r+6\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 6 και 6.

$$6r^{2}+29r-42=\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$