Επίλυση 6x^2-x-2

$$6 { x }^{ 2 } -x-2$$

Παράγοντας

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=6\left(-2\right)=-12$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-4 b=3$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}-x-2 ως \left(6x^{2}-4x\right)+\left(3x-2\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(3x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην εξίσωση 6x^{2}-4x.

$$2x\left(3x-2\right)+3x-2$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-x-2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 1 και το 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{1±7}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±7}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 7.

$$x=\frac{8}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±7}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{2}{3} με x_{1} και το -\frac{1}{2} με x_{2}.

$$6x^{2}-x-2=6\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6x^{2}-x-2=6\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{2}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}-x-2=6\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}-x-2=6\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{2x+1}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3x-2}{3} επί \frac{2x+1}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$6x^{2}-x-2=6\times \frac{\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)}{3\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 2.

$$6x^{2}-x-2=6\times \frac{\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)}{6}$$

Απαλοιφή του 6, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 6 και 6.

$$6x^{2}-x-2=\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)$$