Επίλυση 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$1,-6 2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-6 b=1$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}-5x-1 ως \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 6x στην εξίσωση 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -5 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 25 και το 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±7}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Διαιρέστε το 12 με το 12.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±7}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Η αφαίρεση του -1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Αφαιρέστε -1 από 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Προσθέστε το \frac{1}{6} και το \frac{25}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Παραγον x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Προσθέστε \frac{5}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$