Επίλυση 6x^2-32x+10

$$6 { x }^{ 2 } -32x+10$$

Παράγοντας

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 2.

$$2\left(3x^{2}-16x+5\right)$$

Υπολογίστε 3x^{2}-16x+5. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-16 ab=3\times 5=15$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -16.

$$a=-15 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-16x+5 ως \left(3x^{2}-15x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(-x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην πρώτη και το -1 στη δεύτερη ομάδα.

$$3x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-32x+10=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -32 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-24\times 10}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 10.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-240}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 1024 και το -240.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{784}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 784.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±28}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -32 είναι 32.

$$x=\frac{32±28}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{32±28}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{32±28}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 32 και το 28.

$$x=\frac{60}{12}$$

Διαιρέστε το 60 με το 12.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{32±28}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 28 από 32.

$$x=\frac{4}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 5 με x_{1} και το \frac{1}{3} με x_{2}.

$$6x^{2}-32x+10=6\left(x-5\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}-32x+10=6\left(x-5\right)\times \frac{3x-1}{3}$$

Απαλοιφή του 3, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 6 και 3.

$$6x^{2}-32x+10=2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Υπολογισμός

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$