Επίλυση 6x^2-29x-5

$$6 { x }^{ 2 } -29x-5$$

Παράγοντας

$$\left(x-5\right)\left(6x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-29 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -29.

$$a=-30 b=1$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}-29x-5 ως \left(6x^{2}-30x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(6x^{2}-30x\right)+\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 6x στην εξίσωση 6x^{2}-30x.

$$6x\left(x-5\right)+x-5$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(6x+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-29x-5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -29 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+120}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 841 και το 120.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 961.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±31}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -29 είναι 29.

$$x=\frac{29±31}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{29±31}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{29±31}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 29 και το 31.

$$x=\frac{60}{12}$$

Διαιρέστε το 60 με το 12.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{29±31}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 31 από 29.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 5 με το x_{1} και το -\frac{1}{6} με το x_{2}.

$$6x^{2}-29x-5=6\left(x-5\right)\left(x-\left(-\frac{1}{6}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6x^{2}-29x-5=6\left(x-5\right)\left(x+\frac{1}{6}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{6} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}-29x-5=6\left(x-5\right)\times \frac{6x+1}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 6 και 6.

$$6x^{2}-29x-5=\left(x-5\right)\left(6x+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-5\right)\left(6x+1\right)$$