Επίλυση 6x^2-19x+10

$$6 { x }^{ 2 } -19x+10$$

Παράγοντας

$$\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-19 ab=6\times 10=60$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -19.

$$a=-15 b=-4$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}-19x+10 ως \left(6x^{2}-15x\right)+\left(-4x+10\right).

$$\left(6x^{2}-15x\right)+\left(-4x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(2x-5\right)-2\left(2x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-19x+10=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -19 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-24\times 10}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-240}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 361 και το -240.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±11}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -19 είναι 19.

$$x=\frac{19±11}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{19±11}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{19±11}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 19 και το 11.

$$x=\frac{30}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{19±11}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από 19.

$$x=\frac{8}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{2} με το x_{1} και το \frac{2}{3} με το x_{2}.

$$6x^{2}-19x+10=6\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{5}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}-19x+10=6\times \frac{2x-5}{2}\left(x-\frac{2}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{2}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}-19x+10=6\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{3x-2}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2x-5}{2} επί \frac{3x-2}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$6x^{2}-19x+10=6\times \frac{\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$6x^{2}-19x+10=6\times \frac{\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 6 και 6.

$$6x^{2}-19x+10=\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)$$