Επίλυση 6x^2-10x+5=0

$$6 { x }^{ 2 } -10x+5 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{5}i}{6}\approx 0,833333333+0,372677996i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,372677996i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-10x+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -10 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-24\times 5}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-120}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 100 και το -120.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-20}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -20.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{5}i}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{5}i}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{10±2\sqrt{5}i}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±2\sqrt{5}i}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{5}i}{12}$$

Διαιρέστε το 10+2i\sqrt{5} με το 12.

$$x=\frac{5+\sqrt{5}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±2\sqrt{5}i}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{5} από 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+10}{12}$$

Διαιρέστε το 10-2i\sqrt{5} με το 12.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+5}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5+\sqrt{5}i}{6} x=\frac{-\sqrt{5}i+5}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-10x+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}-10x+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}-10x=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-10x}{6}=-\frac{5}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{6}\right)x=-\frac{5}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{5}{6}$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{6}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{5}{6}+\frac{25}{36}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{6} και το \frac{25}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{5}{36}$$

Παραγον x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{5}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{5}i}{6}$$

Προσθέστε \frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5+\sqrt{5}i}{6} x=\frac{-\sqrt{5}i+5}{6}$$