Επίλυση 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=-3 b=10$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}+7x-5 ως \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην πρώτη και το 5 στη δεύτερη ομάδα.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 2x-1=0 και 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με 7 και το c με -5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 49 και το 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±13}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±13}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Η αφαίρεση του -5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Αφαιρέστε -5 από 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Διαιρέστε το \frac{7}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Προσθέστε το \frac{5}{6} και το \frac{49}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{12} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$