Επίλυση 6x^2+7x-5

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5$$

Παράγοντας

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=-3 b=10$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}+7x-5 ως \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 49 και το 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±13}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±13}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{2} με το x_{1} και το -\frac{5}{3} με το x_{2}.

$$6x^{2}+7x-5=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6x^{2}+7x-5=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{3x+5}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2x-1}{2} επί \frac{3x+5}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 6 και 6.

$$6x^{2}+7x-5=\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$