Επίλυση 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=2 b=9$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}+11x+3 ως \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x+1=0 και 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με 11 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 121 και το -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±7}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±7}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-3}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{11}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{11}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{11}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{11}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{2} και το \frac{121}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Παραγον x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Αφαιρέστε \frac{11}{12} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$