Επίλυση 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0,107142857+0,079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0,107142857-0,079859571i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 56, το b με -12 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 56.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

Προσθέστε το 144 και το -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 56.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

Διαιρέστε το 12+4i\sqrt{5} με το 112.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{5} από 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

Διαιρέστε το 12-4i\sqrt{5} με το 112.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$56x^{2}-12x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 56.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Η διαίρεση με το 56 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{56} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{14}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{28}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{28} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{28} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{56} και το \frac{9}{784} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

Προσθέστε \frac{3}{28} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$