Επίλυση 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε 1+x και 1+x για να λάβετε \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 54 με το 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Αφαιρέστε 1215 και από τις δύο πλευρές.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Αφαιρέστε 1215 από 54 για να λάβετε -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 54, το b με 108 και το c με -1161 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Υψώστε το 108 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Πολλαπλασιάστε το -216 επί -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Προσθέστε το 11664 και το 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -108 και το 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Διαιρέστε το -108+162\sqrt{10} με το 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 162\sqrt{10} από -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Διαιρέστε το -108-162\sqrt{10} με το 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε 1+x και 1+x για να λάβετε \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 54 με το 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Αφαιρέστε 54 και από τις δύο πλευρές.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Αφαιρέστε 54 από 1215 για να λάβετε 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Η διαίρεση με το 54 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Διαιρέστε το 108 με το 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{1161}{54} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Προσθέστε το \frac{43}{2} και το 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Παραγον x^{2}+2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$