Επίλυση 54x^2-35x+21/4=0

$$54 { x }^{ 2 } -35x+ \frac{ 21 }{ 4 } =0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{\sqrt{91}+35}{108}\approx 0,412401778$$

$$x=\frac{35-\sqrt{91}}{108}\approx 0,23574637$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$54x^{2}-35x+\frac{21}{4}=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 54, το b με -35 και το c με \frac{21}{4} στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 54\times \frac{21}{4}}}{2\times 54}$$

Υψώστε το -35 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 54\times \frac{21}{4}}}{2\times 54}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 54.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-216\times \frac{21}{4}}}{2\times 54}$$

Πολλαπλασιάστε το -216 επί \frac{21}{4}.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-1134}}{2\times 54}$$

Προσθέστε το 1225 και το -1134.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{91}}{2\times 54}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -35 είναι 35.

$$x=\frac{35±\sqrt{91}}{2\times 54}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 54.

$$x=\frac{35±\sqrt{91}}{108}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{35±\sqrt{91}}{108} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 35 και το \sqrt{91}.

$$x=\frac{\sqrt{91}+35}{108}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{35±\sqrt{91}}{108} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{91} από 35.

$$x=\frac{35-\sqrt{91}}{108}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{91}+35}{108} x=\frac{35-\sqrt{91}}{108}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}-35x+\frac{21}{4}=0$$

Αφαιρέστε \frac{21}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$54x^{2}-35x+\frac{21}{4}-\frac{21}{4}=-\frac{21}{4}$$

Η αφαίρεση του \frac{21}{4} από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$54x^{2}-35x=-\frac{21}{4}$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 54.

$$\frac{54x^{2}-35x}{54}=-\frac{\frac{21}{4}}{54}$$

Η διαίρεση με το 54 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 54.

$$x^{2}-\frac{35}{54}x=-\frac{\frac{21}{4}}{54}$$

Διαιρέστε το -\frac{21}{4} με το 54.

$$x^{2}-\frac{35}{54}x=-\frac{7}{72}$$

Διαιρέστε το -\frac{35}{54}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{35}{108}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{35}{108} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{35}{54}x+\left(-\frac{35}{108}\right)^{2}=-\frac{7}{72}+\left(-\frac{35}{108}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{35}{108} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{35}{54}x+\frac{1225}{11664}=-\frac{7}{72}+\frac{1225}{11664}$$

Προσθέστε το -\frac{7}{72} και το \frac{1225}{11664} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{35}{54}x+\frac{1225}{11664}=\frac{91}{11664}$$

Παραγον x^{2}-\frac{35}{54}x+\frac{1225}{11664}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{108}\right)^{2}=\frac{91}{11664}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{108}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{91}{11664}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{35}{108}=\frac{\sqrt{91}}{108} x-\frac{35}{108}=-\frac{\sqrt{91}}{108}$$

Προσθέστε \frac{35}{108} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{91}+35}{108} x=\frac{35-\sqrt{91}}{108}$$