Επίλυση 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Παράγοντας

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 52z^{2}+az+bz+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -43.

$$a=-39 b=-4$$

Γράψτε πάλι το 52z^{2}-43z+3 ως \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 13z στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4z-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Υψώστε το -43 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Πολλαπλασιάστε το -208 επί 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Προσθέστε το 1849 και το -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -43 είναι 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{43±35}{104} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 43 και το 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{78}{104} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{43±35}{104} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 35 από 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{104} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{4} με το x_{1} και το \frac{1}{13} με το x_{2}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Αφαιρέστε z από \frac{3}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Αφαιρέστε z από \frac{1}{13} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{4z-3}{4} επί \frac{13z-1}{13} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 52 σε 52 και 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$