Επίλυση 515=x^2+left(x+2right)^2+left(x+4right)^2

$$515= { x }^{ 2 } + { \left(x+2 \right) }^{ 2 } + { \left(x+4 \right) }^{ 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-15$$

$$x=11$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$515=x^{2}+x^{2}+4x+4+\left(x+4\right)^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$515=2x^{2}+4x+4+\left(x+4\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+4\right)^{2}.

$$515=2x^{2}+4x+4+x^{2}+8x+16$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$515=3x^{2}+4x+4+8x+16$$

Συνδυάστε το 4x και το 8x για να λάβετε 12x.

$$515=3x^{2}+12x+4+16$$

Προσθέστε 4 και 16 για να λάβετε 20.

$$515=3x^{2}+12x+20$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$3x^{2}+12x+20=515$$

Αφαιρέστε 515 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+12x+20-515=0$$

Αφαιρέστε 515 από 20 για να λάβετε -495.

$$3x^{2}+12x-495=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$x^{2}+4x-165=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-165. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=1\left(-165\right)=-165$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -165.

$$-1,165 -3,55 -5,33 -11,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+165=164 -3+55=52 -5+33=28 -11+15=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-11 b=15$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+4x-165 ως \left(x^{2}-11x\right)+\left(15x-165\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(15x-165\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 15 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-11\right)+15\left(x-11\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-11 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-11\right)\left(x+15\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-11=0 και x+15=0.

$$x=11 x=-15$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$515=x^{2}+x^{2}+4x+4+\left(x+4\right)^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$515=2x^{2}+4x+4+\left(x+4\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+4\right)^{2}.

$$515=2x^{2}+4x+4+x^{2}+8x+16$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$515=3x^{2}+4x+4+8x+16$$

Συνδυάστε το 4x και το 8x για να λάβετε 12x.

$$515=3x^{2}+12x+4+16$$

Προσθέστε 4 και 16 για να λάβετε 20.

$$515=3x^{2}+12x+20$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$3x^{2}+12x+20=515$$

Αφαιρέστε 515 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+12x+20-515=0$$

Αφαιρέστε 515 από 20 για να λάβετε -495.

$$3x^{2}+12x-495=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 12 και το c με -495 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 3\left(-495\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 3\left(-495\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-12\left(-495\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -495.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+5940}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 144 και το 5940.

$$x=\frac{-12±\sqrt{6084}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 6084.

$$x=\frac{-12±78}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-12±78}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±78}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 78.

$$x=\frac{66}{6}$$

Διαιρέστε το 66 με το 6.

$$x=11$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±78}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 78 από -12.

$$x=-\frac{90}{6}$$

Διαιρέστε το -90 με το 6.

$$x=-15$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=11 x=-15$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$515=x^{2}+x^{2}+4x+4+\left(x+4\right)^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$515=2x^{2}+4x+4+\left(x+4\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+4\right)^{2}.

$$515=2x^{2}+4x+4+x^{2}+8x+16$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$515=3x^{2}+4x+4+8x+16$$

Συνδυάστε το 4x και το 8x για να λάβετε 12x.

$$515=3x^{2}+12x+4+16$$

Προσθέστε 4 και 16 για να λάβετε 20.

$$515=3x^{2}+12x+20$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$3x^{2}+12x+20=515$$

Αφαιρέστε 20 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+12x=515-20$$

Αφαιρέστε 20 από 515 για να λάβετε 495.

$$3x^{2}+12x=495$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+12x}{3}=\frac{495}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{12}{3}x=\frac{495}{3}$$

Διαιρέστε το 12 με το 3.

$$x^{2}+4x=\frac{495}{3}$$

Διαιρέστε το 495 με το 3.

$$x^{2}+4x=165$$

Διαιρέστε το 4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+2^{2}=165+2^{2}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+4=165+4$$

Προσθέστε το 165 και το 4.

$$x^{2}+4x+4=169$$

Παραγον x^{2}+4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=169$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{169}$$

Απλοποιήστε.

$$x+2=13 x+2=-13$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=11 x=-15$$