Επίλυση 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1,5+2,179449472i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

Η αφαίρεση του 12 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

Αφαιρέστε 12 από 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 3 και το c με -7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

Διαιρέστε το -3+i\sqrt{19} με το -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{19} από -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

Διαιρέστε το -3-i\sqrt{19} με το -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

Αφαιρέστε 5 από 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

Διαιρέστε το 3 με το -1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

Διαιρέστε το 7 με το -1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το -7 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$