Επίλυση 5y^2-9y-18

$$5 y ^ { 2 } - 9 y - 18$$

Παράγοντας

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5y^{2}+ay+by-18. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=5\left(-18\right)=-90$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-15 b=6$$

Γράψτε πάλι το 5y^{2}-9y-18 ως \left(5y^{2}-15y\right)+\left(6y-18\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(6y-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5y στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$5y\left(y-3\right)+6\left(y-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}-9y-18=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -18.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 81 και το 360.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$y=\frac{9±21}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$y=\frac{9±21}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{9±21}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 21.

$$y=\frac{30}{10}$$

Διαιρέστε το 30 με το 10.

$$y=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{9±21}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από 9.

$$y=-\frac{12}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=-\frac{6}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 3 με το x_{1} και το -\frac{6}{5} με το x_{2}.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\left(y-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\left(y+\frac{6}{5}\right)$$

Προσθέστε το \frac{6}{5} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\times \frac{5y+6}{5}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 5 σε 5 και 5.

$$5y^{2}-9y-18=\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$