Επίλυση 5y^2+9y-14

$$5 y ^ { 2 } + 9 y - 14$$

Παράγοντας

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5y^{2}+ay+by-14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=9 ab=5\left(-14\right)=-70$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -70.

$$-1,70 -2,35 -5,14 -7,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+70=69 -2+35=33 -5+14=9 -7+10=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 9.

$$a=-5 b=14$$

Γράψτε πάλι το 5y^{2}+9y-14 ως \left(5y^{2}-5y\right)+\left(14y-14\right).

$$\left(5y^{2}-5y\right)+\left(14y-14\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5y στο πρώτο και στο 14 της δεύτερης ομάδας.

$$5y\left(y-1\right)+14\left(y-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}+9y-14=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -14.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81+280}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 81 και το 280.

$$y=\frac{-9±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$y=\frac{-9±19}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$y=\frac{-9±19}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-9±19}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 19.

$$y=\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το 10 με το 10.

$$y=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-9±19}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από -9.

$$y=-\frac{28}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-28}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=-\frac{14}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 1 με το x_{1} και το -\frac{14}{5} με το x_{2}.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\left(y-\left(-\frac{14}{5}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\left(y+\frac{14}{5}\right)$$

Προσθέστε το \frac{14}{5} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\times \frac{5y+14}{5}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 5 σε 5 και 5.

$$5y^{2}+9y-14=\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$