Επίλυση 5y^2+27y+10

$$5 y ^ { 2 } + 27 y + 10$$

Παράγοντας

$$\left(y+5\right)\left(5y+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5y^{2}+ay+by+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=27 ab=5\times 10=50$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 27.

$$a=2 b=25$$

Γράψτε πάλι το 5y^{2}+27y+10 ως \left(5y^{2}+2y\right)+\left(25y+10\right).

$$\left(5y^{2}+2y\right)+\left(25y+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(5y+2\right)+5\left(5y+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5y+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5y+2\right)\left(y+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}+27y+10=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 27 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-20\times 10}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 10.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-200}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 729 και το -200.

$$y=\frac{-27±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$y=\frac{-27±23}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$y=\frac{-27±23}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-27±23}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -27 και το 23.

$$y=-\frac{4}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-27±23}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από -27.

$$y=-\frac{50}{10}$$

Διαιρέστε το -50 με το 10.

$$y=-5$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{5} με το x_{1} και το -5 με το x_{2}.

$$5y^{2}+27y+10=5\left(y-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(y-\left(-5\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$5y^{2}+27y+10=5\left(y+\frac{2}{5}\right)\left(y+5\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{5} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$5y^{2}+27y+10=5\times \frac{5y+2}{5}\left(y+5\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 5 σε 5 και 5.

$$5y^{2}+27y+10=\left(5y+2\right)\left(y+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(y+5\right)\left(5y+2\right)$$