Επίλυση 5x^2-8x-4=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x - 4 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-10 b=2$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-8x-4 ως \left(5x^{2}-10x\right)+\left(2x-4\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(2x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 5x στην πρώτη και το 2 στη δεύτερη ομάδα.

$$5x\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-2=0 και 5x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-8x-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -8 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 64 και το 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{8±12}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±12}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 12.

$$x=\frac{20}{10}$$

Διαιρέστε το 20 με το 10.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±12}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από 8.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-8x-4=0$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Η αφαίρεση του -4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-8x=-\left(-4\right)$$

Αφαιρέστε -4 από 0.

$$5x^{2}-8x=4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=\frac{4}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{8}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

Προσθέστε το \frac{4}{5} και το \frac{16}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

Προσθέστε \frac{4}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$