Επίλυση 5x^2-8x+3=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-8 ab=5\times 3=15$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-5 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-8x+3 ως \left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 5x στην πρώτη και το -3 στη δεύτερη ομάδα.

$$5x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(5x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-1=0 και 5x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -8 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\times 3}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 64 και το -60.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±2}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{8±2}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±2}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 2.

$$x=\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το 10 με το 10.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±2}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από 8.

$$x=\frac{6}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-8x+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-8x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{8}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{16}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{3}{5} και το \frac{16}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{1}{25}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$$

Προσθέστε \frac{4}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$