Επίλυση 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 24 και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-15 b=8$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-7x-24 ως \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-7x=24$$

Αφαιρέστε 24 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Η αφαίρεση του 24 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -7 και το c με -24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 49 και το 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±23}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Διαιρέστε το 30 με το 10.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±23}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Προσθέστε το \frac{24}{5} και το \frac{49}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Παραγον x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Προσθέστε \frac{7}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$